Monotonia
Uma sucessão é crescente se o termo posterior for maior do que o anterior.
Un+1 > Un
Uma sucessão é decrescente se o termo posterior for menor do que o anterior.
Un+1 < Un
Estude a Monotonia da sucessão Un=3n-5 analiticamente
Un=3n-5
U2=3*2-5
Ua= 3*a-5
Un+1=3(n+1)-5
=3n+3-5
=3n-2
Un+1-Un=?
Un+1-Un=3n-2-(3n-5)
=3n-2-3n-5
=-2-5
=3>0 logo a sucessão é crescente
Estude a monotonia da sucessão Un =n+1/n
Un+1-Un=?
Un+1=n+1+1/n+1
Un+1=n+2/n+1
Un+1-Un=n+2/n+1-n+1/n
=n2+2n-(n2+2n+1)/n2+n
=-1/n2+n < 0
Logo a sucessão Un=n+1/n é decrescente.
Progressão Aritmética (P.A)
Uma progressão aritmética é uma sucessão em que cada termo anterior obtém-se adicionando por um valor constante de d e chama-se razão de sucessão. Numa progressão aritmética a diferença é constante que se chama razão de sucessão.
Exemplo:
3,5,5,7,9,11,13,... a1=3; d=13-11=9-7=5-3=2
Termo Geral da Progressão Aritmética
a1 e d
a2=a1+d
a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d
a5=a4+d=a1+3d+d=a1+4d
a6=a5+d=a1+4d+d=a1+5d
a10=a9+d=a1+8d+d=a1+9d
an=a1+(n-1)d
onde:
a1--é o termo
d--é a razão
n--é o número de ordem
Exemplo:
Na P.A 3,1,-1,-3,-5
a) Achar o a20 e a101
a1=3. a1=3
d=-2 d=-2
n=20 n=101
an=a1+(n-1)*d
a20=3+(20-1)*(-2)
a20=3+19*(-2)
a20=3-38
a20=-35
an=a1+(n-1)*d
a101=3+(101-1)*(-2)
a101=3+100*(-2)
a101=3-200
a101=-197
Propriedades da Progressão Aritmética
Primeira Propriedade
Numa progressão Aritmética cada termo é igual a média aritmética dos seus termos adjacentes (média aritmética do anterior com o posterior.
5,8,11,14,17,20,23,26...
8=5+1/2
11=8+14/2
17=14+20/2
Segunda Propriedade
A soma dos extremos é igual a soma extremos equidistantes.
a1+an=an+an-k+1
Soma dos primeiros termos da P.A(Sn)
Sn=(a1+an)*n/2
ou
Sn=[2a1+(n-1)*d] n/2
onde:
a1--é o primeiro termo da soma
an--é o último termo
n-- o número total dos termos somados
Exemplo:
5,8 11,14,17,20,23,26,29,32.Achar S30 a1=5, d=3
a30=a1+(n-1)*d
a30=5+(30-1)*d
a30=5+29*3
a30=5+87
a30=92
Sn=(a1+an)*n/2
S30=(a1+a30)*30/2
S30=(5+92)*15
S30=97*15
S30 =1455
Progressão Geométrica
A sucessão 3,6,12,24,48,96... cada termo tem no anterior multiplicando por 2.
Na sucessão 1,1/2,1/2,1/8,1/16,1/32... cada termo tem no anterior multiplicando por 1/2.
Vê-se que estamos perante uma progressão geométrica
Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo obtém-se do anterior multiplicando por uma razão q ou r .
a1 e q
a2=a1*q
a3=a2*q
an=an*q
-razão q
a2/a1=q
a3/a2=q
q=an+1/an
Termo Geral da Progressão Geométrica
an=a1*qn-1
Primeira Propriedade
Numa Progressão Geométrica cada termo é igual a média geométrica dos termos adjacentes.
Segunda Propriedade
O produto dos extremos é igual ao produto dos termos equidistantes aos extremos
a1*a2=ak*an-k+1
Soma dos primeiros termos da Progressão Geométrica
Sn=a*(1-qn)/1-q
Exemplo:
Na P.G a1=6 q=1/2 a10=?
an=a1*qn-1
a10=6*(1/2)9
a10=6*1/512
a10=6/512