Monotonia

Monotonia

Uma sucessão é crescente se o termo posterior for maior do que o anterior.
Un+1 > Un

Uma sucessão é decrescente se o termo posterior for menor do que o anterior.
Un+1 < Un

Estude a Monotonia da sucessão Un=3n-5 analiticamente
Un=3n-5
U2=3*2-5
Ua= 3*a-5

Un+1=3(n+1)-5
        =3n+3-5
        =3n-2

Un+1-Un=?

Un+1-Un=3n-2-(3n-5)
              =3n-2-3n-5
              =-2-5
              =3>0 logo a sucessão é crescente

Estude a monotonia da sucessão Un =n+1/n
Un+1-Un=?
Un+1=n+1+1/n+1
Un+1=n+2/n+1

Un+1-Un=n+2/n+1-n+1/n
               =n2+2n-(n2+2n+1)/n2+n
               =-1/n2+n < 0
Logo a sucessão Un=n+1/n é decrescente.

Progressão Aritmética (P.A)

Uma progressão aritmética é uma sucessão em que cada termo anterior obtém-se adicionando por um valor constante de d  e chama-se razão de sucessão. Numa progressão aritmética a diferença é constante que se chama razão de sucessão.
Exemplo:
3,5,5,7,9,11,13,... a1=3; d=13-11=9-7=5-3=2
 
Termo Geral da Progressão Aritmética

    a1 e d
a2=a1+d
a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d
a5=a4+d=a1+3d+d=a1+4d
a6=a5+d=a1+4d+d=a1+5d
a10=a9+d=a1+8d+d=a1+9d
an=a1+(n-1)d

onde:
a1--é o termo
d--é a razão
n--é o número de ordem

Exemplo:
Na P.A 3,1,-1,-3,-5

a) Achar o a20 e a101

a1=3.                        a1=3 
d=-2                         d=-2
n=20                        n=101

an=a1+(n-1)*d
a20=3+(20-1)*(-2)
a20=3+19*(-2)
a20=3-38
a20=-35

an=a1+(n-1)*d
a101=3+(101-1)*(-2)
a101=3+100*(-2)
a101=3-200
a101=-197

Propriedades da Progressão Aritmética

Primeira Propriedade Numa progressão Aritmética cada termo é igual a média aritmética dos seus termos adjacentes (média aritmética do anterior com o posterior.
5,8,11,14,17,20,23,26...

8=5+1/2                   
11=8+14/2
17=14+20/2

Segunda Propriedade A soma dos extremos é igual a soma extremos equidistantes.

a1+an=an+an-k+1

Soma dos primeiros termos da P.A(Sn)

Sn=(a1+an)*n/2 

ou

Sn=[2a1+(n-1)*d] n/2

onde:
a1--é o primeiro termo da soma
an--é o último termo
n-- o número total dos termos somados

Exemplo:
5,8 11,14,17,20,23,26,29,32.Achar S30 a1=5, d=3

a30=a1+(n-1)*d
a30=5+(30-1)*d
a30=5+29*3
a30=5+87
a30=92

Sn=(a1+an)*n/2
S30=(a1+a30)*30/2
S30=(5+92)*15
S30=97*15
S30 =1455

Progressão Geométrica

A sucessão 3,6,12,24,48,96... cada termo tem no anterior multiplicando por 2.
Na sucessão 1,1/2,1/2,1/8,1/16,1/32... cada termo tem no anterior multiplicando por 1/2.
Vê-se que estamos perante uma progressão geométrica
Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo obtém-se do anterior multiplicando por uma razão q ou r .

a1 e q
a2=a1*q
a3=a2*q

an=an*q

-razão q

a2/a1=q

a3/a2=q

q=an+1/an

Termo Geral da Progressão Geométrica

an=a1*qn-1

Primeira Propriedade

Numa Progressão Geométrica cada termo é igual a média geométrica dos termos adjacentes. 

Segunda Propriedade

O produto dos extremos é igual ao produto dos termos equidistantes aos extremos

a1*a2=ak*an-k+1

Soma dos primeiros termos da Progressão Geométrica

Sn=a*(1-qn)/1-q

Exemplo:

Na P.G a1=6   q=1/2   a10=?

an=a1*qn-1

a10=6*(1/2)9

a10=6*1/512

a10=6/512